Pudełko geometryczne

Wśród eksponatów Muzeum Uniwersytetu Wrocławskiego znajdziemy liczącą ponad 200 lat pomoc dydaktyczną - zestaw drewnianych klocków pozwalających zilustrować kilkanaście pojęć i dowodów twierdzeń geometrycznych. Na muzealnej metryczce czytamy:

• Tablice do nauki geometrii (pudełko z modelami geometrycznymi)
• pochodzenie - Niemcy, początek XIX wieku
• nr inw. MUWr-396
• materiał - drewno 57 mm x 189 mm x 28 mm
• stan zachowania - bardzo dobry
• wartość - 3000 zł (dane z 2012 roku).

O "pudełku geometrycznym" udało się ustalić niewiele faktów. Zostało wyprodukowane w Niemczech w I połowie XIX wieku, prawdopodobnie w jednej z wytwórni pomocy naukowych w Lipsku lub Halle. Było na wyposażeniu Seminarium Matematycznego pruskiego Uniwersytetu Państwowego we Wrocławiu (Breslau) utworzonego w 1811 roku po połączeniu miejscowej Akademii Leopoldyńskiej z frankfurcką Viadriną. W roku 1949, w ramach zabezpieczania zbiorów muzealnych na Ziemiach Odzyskanych, zostało przewiezione na Uniwersytet Jagielloński (sygnatura Muzeum UJ 30-X-V; klocki poglądowe do nauki geometrii), skąd powróciło do Wrocławia w 2000 roku przy okazji przygotowań do wystawy "300 lat Uniwersytetu Wrocławskiego 1702-2002".

W XIX wieku takie pomoce stanowiły standardowe wyposażenie europejskich uniwersytetów. Podobne pudełka geometryczne znajdują się w muzeach uniwersyteckich w Holandii w Lejdzie (fot. 1) i Utrechcie (fot. 2) oraz w muzeum Arts et Metiers (sztuki i rzemiosła) w Paryżu (fot. 3).

 

Na Portalu jako pierwsi publikujemy pełną dokumentację fotograficzną "pudełka geometrycznego" i opis poszczególnych zestawów klocków, jakie ono zawiera. Ponieważ nie zachowała się do niego żadna instrukcja, odgadnięcie przeznaczenia niektórych klocków jest dziś nie lada zagadką i ciekawym zadaniem.

Fot. 1. Pudełko geometryczne                                       Fot. 2. Oględziny
w "białych rękawiczkach"

 

Tytułowe pudełko wykonane jest z drewna dębowego. W środku znajdują się dwie tacki klocków geometrycznych umieszczonych w odpowiednich wyżłobieniach oraz zestaw wielokątów luzem. Wszystkie klocki wykonano z egzotycznego drewna palisandru. Klocki zachowały się do dziś w znacznie lepszym stanie, niż tacki, na których je umieszczono. Zestawy z tacek są z pewnością kompletne, zestaw wielokątów może być zdekompletowany.

 

Fot. 3. Pierwsza warstwa klocków i tacka z wyżłobieniami
(możesz ją powiększyć, klikając w zdjęcie)

 

Fot. 4. Druga warstwa klocków i tacka z wyżłobieniami
(możesz ją powiększyć, klikając w zdjęcie)

 

Fot. 5. Zbiór wielokątów w "pudełku geometrycznym"

Zestawy klocków wchodzących w skład "pudełka geometrycznego" można podzielić na dwa rodzaje. Jedne prezentują pojęcia matematyczne, a drugie dowody twierdzeń geometrycznych. Wrócimy do tego w dalszej części tekstu.

Nad każdym zestawem klocków umieszczono opis w języku niemieckim, podobnie jak na każdym z wielokątów. Elementy każdego zestawu są ponumerowane, a podziały na poszczególne klocki zaznaczono na odpowiednich fragmentach wyżłobień tacek. Wydaje się, że opisy nie były oryginalnie umieszczone na klockach przez producenta. Świadczy o tym kilka błędnie dopasowanych zestawów (podpis nie zgadza się z rysunkiem na tacce), błędnie przyklejone opisy wielokątów (być może kilku brakuje w zestawie) i ręczne poprawki na niektórych błędnych napisach. Napisy były jednak zapewne oryginalną częścią zestawu, gdyż są profesjonalnie wydrukowane (trudno sądzić, że wykonano wydruk zaledwie kilku egzemplarzy etykiet). Być może były fragmentem instrukcji i zostały naklejone na poszczególne klocki przez ich użytkowników.

Opisy klocków mogłyby być pomocne w ustalenia wieku "pudełka geometrycznego", dostarczają jednak niejednoznacznych przesłanek. Użyty w nich krój pisma - antykwa - wskazywałby na I połowę XX wieku, gdyż od końca XV wieku przodującym pismem niemieckim była tzw. szwabacha (pismo gotyckie), której używanie zostało w Rzeszy Niemieckiej zakazane ok. 1940 roku, gdy naziści uznali ją za "żydowską czcionkę". Tymczasem używany w miejscu podwójnego s zapis "fs", który widzimy w podpisach, był typowy dla niemieckiej poligrafii końca XVIII i całego XIX wieku. W roku 1903 wprowadzono w to miejsce czcionkę "β" (tzw. scharfes S) stosowaną do dziś. Analiza napisów na klockach wydaje się więc potwierdzać ich XIX wieczne pochodzenie.

Za pomocą klocków z "Pudełka geometrycznego" można zilustrować następujące pojęcia:

• proste prostopadłe i równoległe,

• kąty naprzemianległe, odpowiadające i wierzchołkowe,
• klasyfikacja trójkątów za względu na boki i kąty,
• klasyfikacja czworokątów ze względu na równoległość i równość boków,
• wielokąty foremne,
• części koła - wycinek i odcinek,
• odcinki w kole - cięciwa, średnica i promień,
• kąty w kole - wpisany i środkowy.

Przyjrzyjmy się dokładniej tym zestawom. Kliknięcie na zdjęcie powoduje jego powiększenie w osobnym oknie.

Klasyfikacja trójkątów

trójkąt prostokątny Ein rechtwinkeliger Triangel	trójkąt rozwartokątny Ein stumpfwinkeliger Triangel	trójkąt równoboczny Ein gleichseitiger Triangel	trójkąt równoramienny Ein gleichschenkeliger Triangel

Uwaga! Na trójkącie prostokątnym oryginalnie naklejono nazwę "spitzwinkeliger", czyli "ostrokątny". Błąd poprawiono pismem odręcznym. Świadczy to o tym, że w zestawie może brakować klocka przedstawiającego trójkąt ostrokątny, różnego od równobocznego.

Klasyfikacja czworokątów

kwadrat Ein Viereck	prostokąt Längliches Viereck oder Rechtangel	romb Rauten-Viereck oder Rhombus	równoległobok Längliches Rauten-Viereck oder Rhomboides	trapez Eine Trapeze

Uwaga! Na kwadrat stosowana jest nazwa "Viereck" (czyli czworokąt, współcześnie używany jest termin Quadrat) i od niej tworzone są nazwy pochodne, definiujące inne typy czworokątów, np. prostokąt - wydłużony kwadrat, romb - pochylony kwadrat, równoległobok - wydłużony pochylony kwadrat. Natomiast napis "Eine Trapeze" (czyli trapez) przypisano wielokątowi, który z pewnością nie jest trapezem. Świadczy to o tym, że w zestawie wielokątów może brakować klocka z dokładnie jedną parą boków równoległych.

Wielokąty foremne

pięciokąt Ein Fünfeck	sześciokąt Ein Sechseck	siedmiokąt Ein Siebeneck	ośmiokąt Ein Achteck	pieciokąt nieforemny UnglEIches Fünfeck

Części koła

	proste prostopadłe Die Perpendicular – Linie
	przedstawienie cięciwy, średnicy i promienia Vorstellung der Sehne des Durchmessers und des Radii
	kąt wpisany w okrąg Ein Peripherie – Winkel
	kąt środkowy i wycinek koła Der Center-Winkel und Sector
	przedstawienie odcinka koła Vorstellung des Abschnittes des Cirkels

• pole prostokąta jest iloczynem jego długości i szerokości,

• kąty naprzemianległe są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy sieczna przecina proste równoległe,
• miary kątów środkowych opartych na rozłącznych łukach sumujących się do okręgu dają 360⁰,
• miara kąta wpisanego w okrąg jest połową miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku,
• kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest prosty,
• suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180⁰,
• trójkąty o równych podstawach i wysokościach mają równe pola,
• twierdzenie Pitagorasa.

Przyjrzyjmy się dokładniej dowodom tych twierdzeń. Kliknięcie na zdjęcie powoduje jego powiększenie w osobnym oknie.

	Dowód na to, że pole prostokąta jest iloczynem jego długości i szerokości. Beweis, dass die Länge mit der Breite multiplicirt, den Inhalt der Fläche ausmacht.
	Dowód na to, że kąty naprzemianległe są równe. Beweis, dass die Wechselwinkel sich einader gleich sind.
	Dowód na to, że miary kątów środkowych opisanych na rozłącznych łukach, sumujących się do okręgu dają 360⁰. Beweis, dass alle Center-Winkel in einem Cirkel zusammen 360 Grade machen.
	Dowód na to, że kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Beweis, dass ein Peripherie-Winkel halb so gross ist als ein Center-Winkel.
	Dowód na to, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Beweis, dass der Peripherie-Winkel, welcher zur Basis den Durchmesser hat, ein rechter Winkel ist.
	Dowód na to, że suma miar kątów w trójkącie wynosi 180⁰ i przedstawienie odcinka koła. Beweis, dass die drey Winkel in einem Triangel zusammen 180 Grad machen. Wie auch die Vorstellung des Abschnittes des Cirkels.
	Dowód na to, że trójkąty o równych podstawach i wysokościach mają równe pola. Beweis, dass Triangel, deren Basis und Höhe gleich sind, einen gleichen Inhalt haben.
	Dowód na to, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Beweis, dass die beiden Quadraten der Katheten eines rechtwinkeligen Dreyecks dem Quadraten der Hypnotusa gleich sind.
	Inny dowód na to, że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Ein andrer Beweis, dass die Quadraten der Katheten dem Quadraten der Hypnotusa gleich sind.

Uwaga! Podpisy w zestawach nr 5 i 6 są umieszczone na odwrót w stosunku do klocków (i rysunków w wyżłobieniach tacki).

 

Najciekawsze są dowody przedstawione w zestawach 7, 8 i 9. Poniżej prezentujemy ich animacje.

 

 

Autorki pragną podziękować następującym osobom:

• Marii Kowalińskiej z Muzeum Uniwersyteckiego za udostępnienie "Pudełka geometrycznego" do badań i informacje historyczne,
• Małgorzacie Mikołajczyk i Adamowi Morawcowi z Instytutu Matematycznego UWr za pomoc merytoryczną i językową,
• Krzysztofowi Omiljanowskiemu z Instytutu Matematycznego UWr za wykonanie dynamicznych ilustracji do artykułu.