Magazyn Miłośników Matematyki

W Matematycznych zmaganiach są wybrane zadania z finału XXIV Międzynarodowych Mistrzostw w GMiL, przedstawiono też regionalne konkursy matematyczne noszące imię Stefana Banacha. Wśród ciekawostek zebrano także ulice, szkoły i inne placówki noszące nazwisko tego wybitnego matematyka. Natomiast w dziale Nasi górą przedstawiono sukcesy Polaków na międzynarodowych olimpiadach naukowych w roku 2010.

Tematem numeru są grafy, a w szczególności twierdzenie o czterech barwach i burzliwa historia jego dowodu. Zamieszczono też zdjęcia i artykuły dotyczące kostki Rubika i innych łamigłówek z tej rodziny z okazji obchodzonego w 2010 roku jubileuszu 30-lecia kostki.

W Matematycznych zmaganiach są wybrane zadania z finału krajowego VIII Mistrzostw Polski w GMiL oraz regionalnych konkursów im. ks. Franciszka Jakóbczyka w Lublinie i im. Włodzimierza Krysickiego w Łodzi. Tematem numeru są grafy i algorytmy grafowe, a wśród omawianych zagadnień są: problem komiwojażera, problem poszukiwania najkrótszej drogi między wierzchołkami grafu i problem plecakowy. W Samouczku jest kolejna porcja zadań z teorii grafów, a w dziale Zrób sobie bryłkę -  instrukcja wykonania modelu ściankowego i ażurowego pewnego stożkowania dwudziestościanu foremnego.  W numerze można też znaleźć zadania zmarłego w maju 2010 roku Martina Gardnera oraz informacje o wynikach finałów krajowych olimpiad naukowych. W serii Matematyczne wycieczki zaprezentowano różne muzea kolejnictwa w Polsce i na świecie.

Ciekawe artykuły z arytmetyki i teorii liczb. Można dowiedzieć się m.in. skąd się biorą cechy podzielności, jak działają silnie i słabnie oraz czy twierdzenie odwrotne do małego twierdzenia Fermata jest prawdziwe. W dziale "Z życia liczb" o czytamy liczbach zero-jedynkowych i superdoskonałych oraz o wielomianach dających pierwsze wartości. W "Matematycznych zmaganiach" jest prezentacja konkursów z nazwiskiem z różnych regionów kraju. Tradycyjnie są też primaaprilisowe sofizmaty, a także galeria zabawnych matematycznych jajek z nazwiskiem. Zaś w "Sztafecie pokoleń" - konkurs kalkulatorowy, w którym nagrody funduje CASIO.

Na jednej z okładek warto zwrócić uwagę na ciekawą reklamę studiów matematycznych na Uniwersytecie Wrocławskim, a na innej - na prace finalistów I Konkursu Matematycznego Origami Żuraw.

Wszystko o zegarach - słonecznych, grawitacyjnych i mechanicznych. Opisane są matematyczne zasady ich działania (m.in. problem liniowo skalowanej klepsydry oraz cyfrowego zegara słonecznego), zrekonstruowane są rozumowania Christiaana Hugensa, które doprowadziły go do wynalezienia wahadła o stałym okresie wahań niezależnym od kąta wychylenia, jest też wiele zadań i łamigłówek dotyczących zegarów. Można dowiedzieć się czym godziny włoskie różnią się od norymberskich oraz jak skonstruować zegar kwiatowy Linneusza lub jak wykreślić analemmę.

W rubryce "Matematyczne wycieczki" można sprawdzić, gdzie znajdują się najstarsze i najsłynniejsze zegary słoneczne i astronomiczne w Polsce i na świecie, a gdzie są ciekawe muzea zegarów i ogrody czasu (parki z różnymi typami zegarów słonecznych).

Jest w nim wiele zadań o równaniach kwadratowych i o krzywych stożkowych na poziomie szkolnym i olimpijskim (w tym z wykorzystaniem układu biegunowego i płaszczyzny rzutowej) oraz ciekawe problemy badawcze dotyczące stożkowych w metrykach nieeuklidesowych. Całość okraszona jest informacjami o ciekawych przykładach krzywych stożkowych w architekturze.

Tradycyjnie w numerze powakacyjnym podano wyniki uzyskane przez Polaków na międzynarodowych olimpiadach naukowych i tradycyjnie są to wyniki bardzo wysokie. Natomiast w konkursie zadaniowym MMM przyznano po raz pierwszy tytuł Arcymistrza Łamania Głowy.

Na IV stronie okładki prezentowany jest plakat SEM o konstruowaniu stycznych do okręgu (lub do dowolnej innej stożkowej niezdegenerowanej) za pomocą cyrkla i linijki.

W dziale dotyczącym konkursów prezentowane są zadania z finałów Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych oraz z eliminacji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. W numerze podano też wyniki finałów krajowych różnych olimpiad naukowych. W Samouczku zadaniowym przedstawione są rozwiązania zadań z plakatu SEM p.t. Równe sumy pól.

Tematem przewodnim są własności kuli i walca. Można przeczytać o sposobie mierzenia odległości między figurami, dzięki któremu da się stwierdzić, jak bardzo dane figury się różnią. Jest o pracy Archimedesa "O kuli i walcu", w której genialnie wyprowadził on wzory na powierzchnię i objętość kuli. Jest też artykuł o tym, w jaki sposób walec można umieścić w walcu, ostrosłupie i w stożku.

W dziale modelarskim można dowiedzieć się wiele o konstrukcji wielościanów sferycznych i sfer geodezyjnych, a także nauczyć się wykonywania kul, walców i stożków w technice origami. Numer zilustrowany jest przykładami wykorzystania sfer geodezyjnych w architekturze.

W numerze znajduje się również recenzja łamigłówki Ball.B oraz gry strategicznej "Podróżnik" opracowanej przez ucznia szkoły podstawowej z Krakowa.  Na końcu jest jak zwykle konkurs zadaniowy.

Numer w całości poświęcony jest labiryntom i mejzom. Zawiera wiele ciekawych faktów historycznych i opisy najsłynniejszych labiryntów w Polsce i na świecie od czasów danych po współczesne. Temat z pozoru ma niewiele wspólnego z matematyką, ale okazuje się, że zarówno w konstruowaniu labiryntów, jak i w sposobach na opuszczenie mejzów kryje się wiele matematyki. Szczegółowo opisane są wybrane algorytmy konstruowania i przechodzenia przez labirynty. Jest też wiele zadań łamigłówkowych związanych z tą tematyką w Samouczku zadaniowym i w Sztafecie pokoleń. Ogłoszony jest też konkurs na projekt mejzu, który może zostać zrealizowany w rzeczywistości. Można też znaleźć wiele ciekawostek o związkach labiryntów ze sztuką, m.in. w twórczości Jamesa Joyce'a, Jerome'a K. Jerome'a i Wacława Szpakowskiego.

Numer w tonacji zimowej urozmaicony jest matematycznymi choinkami (generowanymi komputerowo, składanymi w technice origami i widzianymi okiem prześmiewcy) oraz gwiazdom morawskim. Tematem przewodnim są nowoczesne algorytmy szyfrowania informacji i kodowania danych, m.in. szyfr z publicznym kluczem RSA oraz kod paskowy, numer PESEL, komputerowy kod ASCII i inne. Problemy te wiążą się z poszukiwaniem dużych  liczb pierwszych i szybkich algorytmów badania pierwszości.

Zadania związane z liczbami pierwszymi zdominowały konkurs Łamania głowy, w Matematycznych zmaganiach są zadania eliminacyjne z Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych, w Samouczku zadaniowym  - pouczające zadanie o taryfach telefonicznych, a w Sztafecie pokoleń - zadania typu Master Mind. W Matematycznych wycieczkach prezentowana jest kolejna seria niemieckich muzeów matematyki.

W Matematycznych zmaganiach oprócz zadań z finałów Międzynarodowych Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych zaprezentowano szereg ciekawych konkursów matematycznych rozgrywanych w Małopolsce.

Ponadto znajdziemy tu dużo geometrii i zadań aplikacyjnych. W artykule Proste i koła podano rozwiązania problemów dotyczących wzajemnego położenia prostych i okręgów na płaszczyźnie. Stały się one pretekstem do badania zagadnień konstrukcyjnych, kombinatorycznych i dotyczących krzywych stożkowych. 

Seria zadań o tyczce, która wpadła do egipskiej studni prowadzi od prostych zagadnień z elementarnej geometrii do coraz bardziej skomplikowanych problemów rozwiązywanych z użyciem trygonometrii i analizy matematycznej (czasem posiłkując się obliczeniami i wykresami komputerowymi).

Szczególnie ciekawe są artykuły dotyczące matematycznej i fizycznej analizy kinematyki sportów lekkoatletycznych. Dowiadujemy się, dlaczego nie można skakać na sześciometrowej tyczce i jak indywidualnie dobrać technikę pchnięcia kula do parametrów zawodnika.

Zaduszkowy termin ukazania się numeru stał się pretekstem do przypomnienia bardziej lub mniej znanych anegdot dotyczących okoliczności śmierci sławnych matematyków. 

Na okładce prezentowany jest ciekawy plakat o równych sumach pól, promujący założone w lipcu 2008 roku Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej.

Numer poświęcony jest dużym liczbom, nieskończoności i pułapkom, jakie czyhają na śmiałków, którzy nieostrożnie obchodzą się z tymi pojęciami. Między innymi poszukuje się największej liczby świata oraz odpowiada na pytania: jak notować naprawdę duże liczby, czy nieskończoność istnieje w realnym świecie i ile jest różnych nieskończoności. Oto kilka ciekawych zadań zaczerpniętych z tego numeru. Tam też znajdziecie ich szczegółowe rozwiązania.

• Oblicz, z jaką prędkością Ziemia porusza się wokół Słońca.
• Jaką drogę pokonała w tej wędrówce przez 2 millenia naszej ery?
• Jak długą liczbę można wydrukować wzdłuż ziemskiego równika czcionką o szerokości znaku wynoszącej 2 mm? A jak długą tą samą czcionką wzdłuż drogi na Księżyc? A wzdłuż orbity Plutona?
• Gdyby Ziemia jutro oderwała się od Słońca i poleciała ze swoją prędkością w kierunku najbliższej innej gwiazdy, kiedy by do niej dotarła?
• Gdyby całą substancję układu słonecznego rozprowadzić równomiernie po jego obszarze powstałby pewien gaz. Ile ważyłby m³ tego gazu?
• Ile kropel wody jest w Oceanie Spokojnym?
• Współczesne zegary odmierzają czas z dokładnością do 1/100000 sekundy. Jaką drogę przeleci w tym czasie naddźwiękowy samolot odrzutowy?
• Gdyby biblijna wdowa swój grosz złożyła nie na tacę, lecz do Kasy Oszczędnościowej, to do jakiej kwoty urósłby on po 1000 latach, jeśli kasa płaci 4% rocznie od każdej setki?
• Podobno powietrze na Ziemi w ciągu ostatnich 2000 lat wymieszało się tak dokładnie, że każdy człowiek w każdym oddechu wdycha molekuły z ostatniego oddechu Cezara. Czy to możliwe? Oblicz, ile takich molekuł znajduje się w twoim pokoju.
• Jakie jest prawdopodobieństwo, że małpa naciskająca losowo klawisze maszyny do pisania przez nieskończenie długi czas napisze dowolnie wybrany tekst, np. Hamleta Williama Shakespeare'a?

W Matematycznych zmaganiach można tym razem znaleźć zadania półfinałowe z Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych oraz bogaty wybór konkursów matematycznych z województwa opolskiego (Mała Olimpiada, Konkurs Kluczborski, Zawody w Oleśnie, Konkurs im. Tadeusza Knysza, Konkurs dla ZSZ, Potyczki ze statystyką, Turniej w Kędzierzynie Koźlu i Mathematics Everyday and Everywhere).

Temat przewodni numeru stanowią koła i szprychy. Matematyczne rowery są dobrze znane bywalcom naszego portalu, można o nich więcej przeczytać tutaj, tutaj oraz tutaj.

Dlaczego rowerowe koła są okrągłe? Wiadomo, tylko koło gładko toczy się po płaskiej nawierzchni. A co by było gdyby rowery miały koła trójkątne lub kwadratowe? No cóż, byłoby trochę niewygodnie. A gdyby zastosować inne niż klasyczne koła figury o stałej szerokości, na przykład trójkąty Releaux? Bez wstrząsów dałoby się na nich jechać tylko po specyficznych, nierównych nawierzchniach. Temat ten stanowi pretekst do rozmaitych rozważań geometrycznych, m.in. badania pojęcia potęgi punktu względem okręgu, rulet i cykloid, figur kreskowalnych i powierzchni prostokreślnych. A w jednym z konkursów nagrodą jest oczywiście... rower.

W dziale Zrób sobie bryłkę jest instrukcja wykonania modelu dwudziestościanu wielkiego ściętego.

Ogłoszony został nowy konkurs pod nazwą WWW z MMM, czyli Wielka Wakacyjna Wyprawa z Mapą Miłośnika Matematyki, którego celem jest zebranie opisów ciekawych matematycznie miejsc, obiektów, muzeów i dzieł sztuki, a potem wydanie specjalnej mapy i przewodnika. W numerze jest też konkurs na najlepsze matematyczne limeryki.

W dziale Matematyczne zmagania przedstawiono tegoroczne zadania eliminacyjne z Mistrzostw Polski w Grach Matematycznych i Logicznych oraz wybór stołecznych konkursów matematycznych (St@ś, Torus, Wstęga Möbiusa i Meridian).

Tematem przewodnim numeru są powierzchnie i ich dziwne własności. Mowa jest o klasyfikacji powierzchni i ich chirurgii - klejeniu z kwadratu lub z innych powierzchni oraz rozcinaniu na wiele części. Wiele proponowanych ćwiczeń i eksperymentów dotyczy wstęgi Möbiusa (o której można przeczytać także na naszym portalu w artykułach Dzieła ze wstęgi Möbiusa oraz Zastosowania wstęgi Möbiusa), tyle że wielokrotnie poskręcanej. Badana jest jej stronność i orientowalność i kształty, na jakie rozpada się podczas cięcia. Korzystając z tego, że brzeg klasycznej wstęgi jest okręgiem, można załatać nią różne dziury i patrzeć, co z tego powstanie.

Oto kilka zagadek, jakie można znaleźć w tym numerze:

• Ile stron ma wstęga, która powstaje z paska papieru, jeśli przed sklejeniem jego końce przekręcimy 2 razy? A wstęga skręcona 3, 4, 17, n razy?
• Co stanie się z powierzchnią walca, jeśli rozetniemy ją wzdłuż linii narysowanej pośrodku między podstawami? A co stanie się z rozciętą wzdłuż środkowej linii wstęgą Möbiusa? A ze wstęgami skręconymi więcej razy?
• Brzeg powierzchni walca stanowią 2 okręgi (na dwóch końcach "rury"). A co jest brzegiem wstęgi Möbiusa? A wstęgi skręconej więcej razy?
• Jeśli brzeg powierzchni walca "obszyjemy" w myślach zamkiem błyskawicznym, będziemy mogli spiąć oba tworzące go okręgi. Powstanie wtedy precel zwany w matematyce torusem. Brzegiem wstęgi Möbiusa też jest okrąg. Jeśli weźmiemy 2 wstęgi, a ich brzegi "obszyjemy" zamkiem błyskawicznym, będzie można spiąć je ze sobą nawzajem. Co powstanie?
• Na kartce papieru zaznacz pięć domów. Między każdymi dwoma poprowadź ścieżki, tak aby nie przecinały się nawzajem. Udało się? Spróbuj zrobić to samo na kartce sklejonej w powierzchnię boczną walca i na wstędze Möbiusa. I co? A jak byłoby na sferze? A na torusie? Tam, gdzie udało się z pięcioma, powtórz doświadczenia dla większej liczby domów. Dla ilu się udało?

W dziale Zrób sobie bryłkę prezentowane są rozmaite choinkowe matematyczne ozdoby - kule, wielokąty i gwiazdy.

W Matematycznych zmaganiach znajdziemy zadania i wyniki z finału XXI Międzynarodowych Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych w Paryżu (był to najlepszy dotąd występ Polaków w tym konkursie) oraz informacje i zadania z interdyscyplinarnego konkursu dla gimnazjalistów "Laur Hugona" organizowanego przez Gimnazjum nr 1 z Wrocławia, którego patronem jest Hugo Steinhaus.

Temat przewodni numeru nawiązuje do obchodzonej właśnie 75 rocznicy złamania kodu niemieckiej maszyny szyfrującej - Enigmy przez polskich matematyków. Zatem numer poświęcony jest tworzeniu i łamaniu szyfrów oraz związkom kryptologii z matematyką i lingwistyką.

I tak w dziale Matematyka i życie znajdziemy artykuł Vademecum agenta, a w nim mnóstwo przydatnych definicji i wyjaśnionych terminów z zakresu szyfrowania. Podjęto w nim próbę sklasyfikowania i krótkiego omówienia wielu szyfrów (m.in. anagramów, szyfrów stało- i zmiennopodstawieniowych, homofonicznych i polialfabetycznych).

W dziale Z matematycznego lamusa znalazły się dwa artykuły poświęcone maszynie szyfrującej - Enigmie. Z pierwszego poznamy zasady jej budowy i działania, a z drugiego - historię złamania jej kodu przez polskich matematyków. Artykuł ten dokładnie opisuje nie tylko historyczne wydarzenia, ale również matematyczne teorie, które doprowadziły kryptoanalityków do sukcesu.

W dziale Między nami szperaczami recenzji książki Diany Kimpton Tajemniczy świat kodów, przedstawiającej historię szyfrów w wersji "na wesoło", tradycyjnie dokonuje nauczyciel matematyki i uczeń, a na deser zostaje stała porcja zadań w konkursie Łamanie głowy, czyli burza w mózgu.

W Matematycznych zmaganiach znajdziemy wyniki i zadania z finału krajowego XXI Międzynarodowych Mistrzostw w Grach Matematycznych i Logicznych, zadania z pierwszego etapu Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów oraz informacje i zadania z ogólnopolskiego konkursu Kwadratura koła.

Tematem przewodnim tego numeru jest wymierność liczb. I tak w dziale Z życia liczb można dowiedzieć się o różnych sposobach definiowania liczb wymiernych i przekonać, że wszystkie definiują ten sam zbiór. Można też poznać ciekawe cechy niektórych pierwiastków i ułamków. W Samouczku zadaniowym prezentowana jest seria pytań dotyczących własności liczb wymiernych, można też poznać rozmaite sposoby dowodzenia niewymierności liczb (arytmetyczne, algebraiczne, analityczne lub geometryczne). W dziale Matematyka i życie zamieszczono ciekawy artykuł studenta z Krakowa Pierwiastek albo śmierć, pokazujący znaczenie pierwiastka kwadratowego w takich zagadnieniach jak atomowa struktura materii czy wybory parlamentarne.

W stałym dziale Zrób sobie bryłkę zamieszczono opis własności i sposobu wykonania dwunastościanu wielkiego ściętego i dwunasto-dwunastościanu.