Rolling Stones (2) - Polygon Rover

Można myśleć, że okręgi o( T₀, |T₀,T| ), o( P₀, |P₀,P| ) są obrazami pewnego (trzeciego) okręgu w przekształceniach w_T ( z ), w_P ( z ) będących podobieństwami. Co więcej, można przyjąć, że te podobieństwa nie zmieniają orientacji, więc wzory opisujące te przekształcenia są liniowe (tzn. są wielomianami stopnia 1 zmiennej z):

w_T ( z ) = a_T ^. z + b_T
w_P ( z ) = a_P ^. z + b_P Oznacza to, że gdy z jest punktem tego trzeciego okręgu, to odpowiadają mu punkty T = w_T ( z ) oraz P = w_P ( z ). Siodełko (punkt S) jest opisane przez zależność: S = (1-s) ^. T + s ^. P, gdzie s jest stałą (w pierwszym przykładzie s= 0,5). Zatem punkt S jest zależny od z. Napiszmy to: S =w( z ). Tę zależność wyraża poniższy wzór: w ( z ) = (1-s) ^. w_T ( z ) + s ^. w_P ( z ) =
= (1-s) ^. ( a_T ^. z + b_T ) + s ^. ( a_P ^. z + b_P ) =
= ( (1-s) ^. a_T + s ^. a_P ) ^. z + ( (1-s) ^. b_T + s ^. b_P ), czyli w jest też przekształceniem liniowym, a więc podobieństwem. To podobieństwo przekształca ów trzeci okręg na szukany okrąg, po którym porusza się siodełko S.

Powyższe rozumowanie nie wymagało niemal ŻADNYCH rachunków. Skryły się one we własnościach zespolonych przekształceń liniowych.

Warto porównać to z:

Poniższe równania parametryczne opisują położenie punktów P i T jako funkcję czasu t:
      T = [ r_T ^. cos t + T_0x , r_T ^. sin t + T_0y ]
      P = [ r_P ^. cos (t-a) + P_0x , r_P ^. sin (t-a) + P_0y ].
(Dla większej czytelności nawiasy kwadratowe: [ , ] będą tu zamykać współrzędne punktów płaszczyzny.)
Siodełko (punkt S) jest opisane przez zależność: S = (1-s) ^. T + s ^. P, gdzie s jest stałą (w pierwszym przykładzie s= 0,5). Zatem współrzędne punktu S opiszemy w zależności od zmiennej t wzorem:
S = (1-s) ^. T + s ^. P =
   = (1-s) ^. [ r_T ^. cos t + T_0x , r_T ^. sin t + T_0y ] + s ^. [ r_P ^. cos (t-a) + P_0x , r_P ^. sin (t-a) + P_0y ] =
   = [ (1-s) r_T cos t + s r_P cos (t-a) + (1-s)T_0x+sP_0x , (1-s) r_T sin t + s r_P sin (t-a) + (1-s)T_0y+sP_0y ].
Dalej warto przyjąć oznaczenie:    Q = [ (1-s) T_0x + s P_0x , (1-s) T_0y + s P_0y ]   (zauważ, że ten punkt nie zależy od t).
Obliczymy kwadrat odległości punktów S i Q:
   ( (1-s) r_T cos t + s r_P cos (t-a) ) ² + ( (1-s) r_T sin t + s r_P sin (t-a) ) ² =
   = dalej żmudnie liczymy używając 'jedynki trygonometrycznej':
   = (1-s)² r_T² + s² r_P² + 2 ^. (1-s) r_T cos t ^. s r_P cos (t-a) + 2 ^. (1-s) r_T sin t ^. s r_P sin (t-a) =
   = (1-s)² r_T² + s² r_P² + 2 (1-s) r_T s r_P ^. ( cos t ^. cos (t-a) + sin t ^. sin (t-a) ) =
   = dalej rozpoznajemy pewną tożsamość trygonometryczną:
   = (1-s)² r_T² + s² r_P² + 2 (1-s) r_T s r_P ^. ( cos (t - (t-a) ) ) =
   = (1-s)² r_T² + s² r_P² + 2 (1-s) r_T s r_P ^. ( cos a )

I oto mamy sukces! Dlaczego? Bo to ostatnie wyrażenie - choć skomplikowane - to nie zawiera litery t. To znaczy, że kwadrat odległości punktów S i Q jest stały, nie zależy od czasu . Ponieważ punkt Q jest nieruchomy (jego współrzędne nie zależą od t), punkt S porusza się po okręgu o środku Q (którego kwadrat promienia właśnie żmudnie obliczyliśmy). QED

Warto porównać to z:

Przedstawimy pewne rozumowanie krok po kroku.

Krok 0. Rozważmy dwa okręgi o różnych promieniach i poruszające się po nich punkty T i P.	przytrzymaj:
Krok 1. Przesuńmy punkt T w prawo o T0P0 tzn. równolegle do odcinka łączącego środki obrotów T0 i P0. Otrzymamy punkt X. Jak on się porusza?	przytrzymaj:
Krok 2. Oczywiście po fioletowym okręgu będącym przesunięciem niebieskiego okręgu (o środku w T0).	przytrzymaj:
Krok 3. Popatrzmy na kąt XP0P. Ma on stałą miarę, bo punkty T i P obiegają 'swoje' okręgi w tym samym czasie.	przytrzymaj:
Krok 4. Zatem trójkąty XP0P stale są jednakowe (przystające). Stąd odcinek XP ma stałą długość.	przytrzymaj:
Krok 5. Obierzmy na XP taki punkt Z, że dzieli on XP w takim samym stosunku, w jakim punkt S dzieli odcinek TP.	przytrzymaj:
Krok 6. Oczywiście Z porusza się po okręgu (różowym).	przytrzymaj:
Krok 7. W trójkącie XTP 'widać' twierdzenie Talesa (a raczej twierdzenie odwrotne do tw. Talesa): odcinek SZ jest równoległy do TX i ma stałą długość.	przytrzymaj:
Krok 8. Pomyśl o strzałce ZS.	przytrzymaj:
Krok 9. Widać zatem, że S porusza się po okręgu (czerwonym) będącym przesunięciem różowego okręgu. QED	przytrzymaj:

Warto zauważyć, że w powyższym rozumowaniu niepotrzebne były zielone trójkąty. Można je zmazać ze wszystkich rysunków w krokach 1-9. Co to oznacza? Otóż udowodniliśmy niejako przy okazji następujące

TWIERDZENIE 1. Rozważmy dwa zegary o wskazówkach T₀T i P₀P. Założmy, że wskazują one różne czasy (np. jeden moskiewski, a drugi wrocławski) oraz że chodzą punktualnie. Wtedy środek S odcinka łączącego końce T i P wskazówek zatacza okrąg.

Przyglądając się trójkątowi TXP zauważamy, że - niezależnie od czasu - ma on boki TX i XP stałej długości, natomiast kąt TXP się zmienia. Zatem zmienia się długość boku TP. Oznacza to, że zachodzi

TWIERDZENIE 2. W dowolnym n-roverze, którego koła nie chodzą 'tak samo' nie można połączyć kół żadną ramą o stałej długości.