Harmonia liczb

Matematyczną harmonię w muzyce jako pierwsi odkryli pitagorejczycy. Nie darmo ich hasło przewodnie brzmiało Wszystko jest liczbą. Odkryli oni tzw. wielką czwórkę liczb - 1, 2, 3, 4. Okazało się, że drgająca struna skrócona w stosunku 1:2, 2:3 czy 3:4 daje przyjemne współbrzmienie (zaś struna skrócona w stosunku 4:5 daje brzmieniowy dysonans). Podobne konsonanse dają dźwięki, których odległości na skali muzycznej wyrażają proporcje liczb 1, 2, 3 i 4. Odpowiadające tym stosunkom interwały muzyczne starożytni Grecy nazwali oktawą, kwintą i kwartą. Do dziś są one respektowaną częścią, jeśli nie muzycznej praktyki, to w każdym razie teorii.

Ponieważ muzyka dawała się bardzo dobrze opisywać liczbami, pitagorejczycy stali się jej miłośnikami. Na swoje spotkania przynosili instrumenty muzyczne i oddawali się improwizacji. Być może należy ich uznać za wynalazców jam sessions. Dziś nie wiadomo, czy byli dobrymi wykonawcami i jak naprawdę brzmiała ich muzyka, bo nie mamy do dyspozycji żadnych nagrań. Ale podejmowane były próby odtworzenia starożytnych instrumentów i wykonywanych na nich utworów.

Późniejsi krytycy próbowali dokonać oceny talentów muzycznych starożytnych uczonych. W XVI wieku Vincenzo Galilei (ojciec Galileusza, słynny florencki lutnista) twierdził, że pitagorejczycy musieli być zupełnie pozbawieni słuchu, skoro mieli takie właśnie wyobrażenie na temat muzycznego konsonansu, jednak jego nauczyciel, czołowy ówczesny teoretyk muzyki, Gioseffo Zarlino był żarliwym obrońcą Pitagorasa. Obaj panowie wdali się w zaciekły spór w tej sprawie. Wtedy Galilei zastosował rewolucyjną, jak na owe czasy, metodę dowodzenia swej racji - eksperyment.

Vincenzo Galilei obalił m. in. panujące od czasów starożytnych przekonanie, że nie tylko skrócenie struny w stosunku 1:2 daje oktawę, ale także dwukrotne zmniejszenie jej naciągu przy zachowanej długości. Obciążając struny różnymi ciężarkami, wykazał, że w tym drugim przypadku właściwy stosunek wynosi 1:4.

Dzięki eksperymentom ze strunami różnej długości albo jednakowej długości, ale napiętymi z rozmaitą siłą oraz ze słupami powietrza o różnej wysokości i pod różnym ciśnieniem, Galilei odnalazł nowe, 'niepitagorejskie' związki matematyczne między dźwiękami muzycznymi. Do tej pory harmonię określały stosunki liczb całkowitych. On odkrył zależności nieliniowe między napięciem struny a częstotliwością jej drgań. I tak stara polifonia została zastąpiona nowoczesną harmoniką.

Eksperymenty muzyczne Vincenza przyniosły jeszcze jeden ważny efekt. Ich bacznym obserwatorem był najstarszy syn - Galileo. Otrzymał on staranne wykształcenie matematyczne i muzyczne. Chłopiec był szczególnie zachwycony doświadczeniami, w których ojciec regulował siłę napięcia strun za pomocą ciężarków wieszanych na ich końcach. Gdy się taką strunę szarpnęło, zachowywała się jak wahadło. Możliwe, że właśnie to sprawiło, iż młody Galilei zaczął zastanawiać się nad rozmaitymi rodzajami ruchu we wszechświecie.

Wróćmy jednak do harmonii dźwięków i liczb. W gamie C-dur odstępy C-D, D-E, F-G, G-A, i A-H mają być równe. Nazywamy je całymi tonami. Odstępy E-F i H-C są od pozostałych dwa razy mniejsze. Nazywamy je półtonami. Wiemy już, że jeśli stosunek częstości drgań strun wyrażony jest małymi liczbami naturalnymi, otrzymujemy przyjemne współbrzmienia. Wysokie C ma dwa razy tyle drgań na sekundę co niskie, więc stosunek 2:1 daje oktawę. Stosunek 3:1 czyli G do C daje kwintę, 4:3 czyli F do C daje kwartę, 5:4 czyli E do C - wielką tercję, 6:5 czyli F do D - małą tercję. Łatwo zauważyć, że odległość niskiego i wysokiego C wynosi 12 półtonów lub 4 małe tercje, zatem powinno być (6/5)⁴ = 2, ale wartość z lewej strony to 2, 074. Nie da się więc tak dobrać wysokości tonów, żeby wszystkie akordy wyrażały się ilorazami liczb całkowitych i nie zmieniały się wraz z tonacją.

W gamie C-dur między F a G jest FIS. To dźwięk leżący w samym środku oktawy (od niskiego C do FIS i od FIS do wysokiego C jest ten sam odstęp). Jeśli przez x oznaczymy stosunek drgań FIS do C (tzw. zwiększoną kwartę), to x·x =2, więc x = $\sqrt{2}$ i jest to liczba niewymierna. Z tego powodu nie na wszystkich instrumentach można grać czysto.

Na przykład fortepian ma tzw. skalę temperowaną. Oznacza to, że wszystkie odstępy półtonowe są w niej równe. Teoretycznie odpowiadają więc stosunkowi drgań $\sqrt[12]{2}$, co jest liczbą niewymierną i dlatego akordy nie są czyste. Dlatego skrzypek grający "na słuch" odbiega od fortepianu, mimo że się do niego przed koncertem dostroił. U niego zwiększona kwarta wynosi 7:5 = 1,4 i nie zgadza się z temperowaną skalą fortepianu, gdzie $\sqrt{2}\approx$1,4141352.

Jeśli podzielimy skalę muzyczną (na rysunku reprezentowaną przez odcinek [1, 2]) na 6, 7, 8, 9... równych półtonów (na rysunku reprezentowanych przez kropki), tzn. z zachowaniem skali temperowanej, to będą one przybliżały naturalne akordy (oktawa, kwinta, kwarta itd. - na rysunku reprezentowane przez linie pionowe) z dostateczną dokładnością dla skali temperowanej o 19 półtonach. To znaczy, że na fortepianie o 19 klawiszach w oktawie (zamiast 12 jak w klasycznej klawiaturze - na diagramie linia czerwona) można uzyskać dużo lepszą harmonię akordów, gdyby tylko opanować grę na czymś takim. W takiej skali osobne byłyby np. dźwięki CIS i DES, które odróżniamy co prawda w nutach, ale na zwykłej klawiaturze odpowiada im ten sam klawisz. Takie niuanse mogą być realizowane przez skrzypków, którzy mogą skracać strunę w dowolnym miejscu.

Więcej o skali temperowanej przeczytasz w artykule Dlaczego nie da się nastroić pianina?