Zad. 1. Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych (a, b, c), dla których a2 = b2+c.
Zad. 2. W trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD z wierzchołka kąta prostego. Okrąg, którego średnicą jest wysokość CD, odcina na przyprostokątnych trójkąta odcinki o długościach k i l. Oblicz pole trójkąta ABC.
Zad. 3. Po zamkniętym torze jedzie cyklista, robiąc jedno okrążenie w ciągu 6 minut. W tym samym kierunku jedzie motocyklista, który okrąża tor w ciągu 1,5 minuty. Co ile minut motocyklista będzie mijał cyklistę?
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Jagoda Janiś LO Góra, Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów, Liliana Ottlik III LO Wrocław, Stanisław Pająk LO Żary, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Mieszko Ratajczak II LO Głogów, Cezary Rębiś ZSE Radom, Oliwier Roszkowski X LO Wrocław, Miłosz Zakrzewski LO Tuchola;
- 2,5 – Emilia Cichowska II LO Lubin;
- 2 – Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk, Aleksander Kiszkowiak I Techn. Elektroniczne Warszawa, Mikołaj Idzikowski I LO Ostrzeszów, Anna Niżałowska LO Góra, Paulina Wójcik LO Dobrzeń Wielki.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Szukamy liczb pierwszych a, b, c spełniających warunek a2 = b2+c, czyli a2–b2 =
(a–b)·(a+b) = c. Ponieważ liczba c jest pierwsza, mniejszy z czynników w nawiasie musi być równy 1, czyli a–b = 1. Jest tylko jedna para liczb pierwszych, których różnica wynosi 1. Są to liczby 2 i 3. Ostatecznie a=3, b=2, c=5.
Zad. 2. Kąty DEC i DFC są proste (jako wpisane w okrąg i oparte na jego średnicy). Obliczmy pole trójkąta ABC jako sumę pól trójkątów DBC i ADC. Ponieważ wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli podstawę, mamy l2 = mk, a stąd m = l2/k. Podobnie n = k2/l. Pole trójkąta ABC wynosi wiec[tex] P=\frac{1}{2}(m+k)l+\frac{1}{2}(n+l)k=\frac{1}{2}(\frac{l^2}{k}+k)l+\frac{1}{2}(\frac{k^2}{l}+l)k[/tex]. Po przekształceniach otrzymujemy [tex] P=\frac{(k^2+l^2)^2}{2kl}[/tex].
Zad. 3. Oznaczmy przez s długość toru, a przez t - czas potrzebny do pierwszego spotkania. Na podstawie treści zadania otrzymujemy równanie s/1,5t − s/6t = s, skąd t=2 minuty.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
