Zad. 1. Podaj największy dzielnik liczby 1010, który w zapisie dziesiętnym nie zawiera cyfry 0.
Zad. 2. 120 kg cukierków rozsypano do torebek dwóch wielkości. Pojemność większej torebki stanowiła 5/3 pojemności torebki mniejszej. Ile było torebek większych, a ile mniejszych?
Zad. 3. Pociąg osobowy jechał z prędkością 40 km/h. Podróżny widział przez okno przez 3 s pociąg pośpieszny o długości 75 m, jadący w odwrotnym kierunku. Z jaką prędkością jechał pociąg pośpieszny?
Zad. 1. Liczba 1010 zawiera w rozkładzie na czynniki pierwsze wyłącznie liczby 2 i 5. Aby dzielnik liczby 1010 nie zawierał w zapisie dzisiętnym cyfry 0, w rozkładzie na czynniki pierwsze może mieć albo same piatki albo same dwójki. Ponieważ 1010 = (2.5)10 = 210.510, największym dzielnikiem bez zera w zapisie jest 510 = 9765625.
Zad. 2. W treści zadania pojawił się drobny (choć wielkiej wagi) błąd. Masa wszystkich cukierków powinna być wyrażona w gramach, nie w kilogramach. Wówczas mamy 13 par liczb spełniających warunki zadania. Przy masie cukierków wyrażonej w kilogramach sposób rozwiązania jest ten sam, tylko liczba możliwych par jest znacznie większa (ale nie nieskończona!).
Oznaczmy przez x i y=5/3x masy odpowiednio mniejszej i większej torebki (są one proporcjonalne do objętości torebek), a przez m i w - liczby mniejszych i większych torebek, do których rozsypano cukierki. Na podstawie treści zadania mamy mx+wy = mx+w·5/3x = 120, a po przekształceniach 3m+5w = 360:x. Oczywiście 3m+5w jest dodatnią liczbą całkowitą (bo m i w są całkowite), a x i 5/3x muszą być całkowitymi liczbami gramów (na ogół z taką dokładnością ważymy cukierki), czyli x musi być dzielnikiem liczby 360 000 podzielnym przez 3 (wówczas 5/3x też jest całkowite). Ponieważ 360000=32·54·26, takich dzielników jest 2·5·7 = 70. Teraz trzeba sprawdzić, dla których z nich liczby m i w są całkowite. Dla x=3 i y=5 mamy równanie 3m+5w = 120000, które jest spełnione przez pary (m, w) równe: (5, 23997), (10, 23994), (15, 23991), ..., (39995, 3). Takich par jest 7999. Dla x=6 i y=10 mamy równanie 3m+5w = 60000, które jest spełnione przez pary (m, w) równe: (5, 11997), (10, 11994), (15, 11991), ..., (19995, 3). Takich par jest 3999. Dalej sprawdzamy rozwiązania dla x=9 i y=15, x=12 i y=20 itd. Dobrych par (m, w) jest więc bardzo dużo, ale nie można odpowiedzieć, że jest ich nieskończenie wiele. Prawdą jest, że wielkość 3m+5w może przyjmować nieskończenie wiele wartości naturalnych, jednak im większe są te wartości, tym mniejsza jest wartość x, czyli masa mniejszej torebki. A ona nie może być dowolnie mała, gdyż nie może być mniejsza niż masa pojedynczego cukierka. Jest bowiem oczywiste, że rozsypując cukierki do torebek nie możemy ich kroić na części. Przy odpowiedzi "nieskończenie wiele" doszlibyśmy do tego, że kroimy cukierki na pojedyncze nanocząsteczki niewidoczne dla ludzkiego oka.
Zad. 3. Jeden pociąg mija drugi z prędkością będącą sumą prędkości obu pociągów. Wynosiła ona 75:3 = 25 m/s = 90 km/h, zatem prędkość pociągu pośpiesznego wynosiła 90–40 = 50 km/h.
