Zad. 1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma sześcianów liczb naturalnych od 1 do n jest kwadratem pewnej liczby naturalnej. Jakiej?
Zad. 2. Rozwiąż w parach liczb całkowitych równanie x+y = (x–y)2.
Zad. 3. Punkty A, B, C, D, ... są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi 1/|AB| = 1/|AC| + 1/|AD|. Ile boków ma ten wielokąt?
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 19 - Igor Sudyka, V LO Kraków
- 20 - Hanna Osajda, III LO Wrocław.
Zad. 1. Suma sześcianów poczatkowych n liczb naturalnych jest kwadratem sumy początkowych n liczb naturalnych. Udowodnimy to poprzez indukcję względem n. Dla n=1 teza zachodzi. Załóżmy, że teza zachodzi dla pewnej liczby naturalnej k. Pokażemy, że wynika z tego, że zachodzi również dla liczby k+1. Korzystając z założenia indukcyjnego, mamy
13+23+...+k3+(k+1)3 = (1+2+...+k)2+(k+1)3 = [tex](\frac{k(k+1)}{2})^2 + (k+1)^3[/tex]
= [tex]\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} = (\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2[/tex] = (1+2+...+k+k+1)2.
Na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej, po sprawdzeniu jego założeń, wnosimy, że teza 13+23+...+n3 = (1+2+...+n)2 zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej n.
Zad. 2. Podstawmy a = x–y. Wówczas wyjściowe równanie można zapisać jako 2y+a = a2, czyli [tex]y = \frac{a(a-1)}{2}[/tex] i co za tym idzie [tex]x = \frac{a(a+1)}{2}[/tex]. Ponieważ dla dowolnej liczby całkowitej a liczby a(a–1) i a(a+1) są parzyste, rozwiązaniem równania jest zbiór par [tex](\frac{a(a-1)}{2}, \frac{a(a+1)}{2})[/tex] uzyskanych dla dowolnej liczby całkowitej a.
Zad. 3. Zauważmy, że wierzchołki A, B, C, D nie mogą być wszystkimi wierzchołkami tego wielokąta, bo wówczas byłby on kwadratem, a dla kwadratu dana równość nie zachodzi. Niech E oznacza wierzchołek, który następuje po D. Z warunków zadania po kilku przekształceniach otrzymujemy |AC|·|AD| = |AB|·|AD|+|AB|·|AC|. Ponieważ |AC|=|CE| i |AB|=|CD|=|DE|, mamy |CE|·|AD| = |CD|·|AD|+|DE|·|AC|. Patrząc na czworokąt ACDE jako na wpisany w okrąg, z twierdzenia Ptolemeusza mamy |CE|·|AD| = |CD|·|AE|+|DE|·|AC|. Odejmując stronami ostatnie równości, otrzymujemy |AE|=|AD|. Oznacza to, że punkty D i E leżą symetrycznie po dwóch stronach średnicy (przechodzącej przez punkt A) okręgu opisanego na wielokącie ABCDE... Wielokąt z zadania musi więc być siedmiokątem.
