Życzymy w Nowym Roku oryginalnych i ciekawych rozwiązań ligowych zadań!
Zad. 1. Dane są kwadraty ABCD i AEFG o wspólnym wierzchołku A i bokach długości odpowiednio 12 i 10. Wierzchołek B leży na boku EF. Oblicz odległość wierzchołka G od boku AB.
Zad. 2. W trójkącie ABC zachodzi |AB|=4, |AC|=2, |AM|=√7 (gdzie M jest środkiem boku BC). Znajdź miarę kąta B.
Zad. 3. Na łuku AB pewnego okręgu obrano dowolny punkt M. Niech K będzie środkiem odcinka MB, a P - jego rzutem prostokątnym na prostą AM. Wykaż, że wszystkie proste PK przecinają się w jednym punkcie.
Zad. 4. (wolna amerykanka) Na trójkącie ABC opisano okrąg. Środkowa CM przecina go w punkcie D (M jest środkiem odcinka AB). Wykaż, że |AC|2+ |BC|2 = 2·|CM|·|CD|.
W tym miesiącu za zadania 1-3 punkty otrzymali:
- 30 - Iwona Gruszecka (nauczycielka w CLV LO Warszawa), Elżbieta Grzechnik (emerytowana nauczycielka z Radomia), Mikołaj Popek (student UAM), Tadeusz Porzucek (emerytowany nauczyciel z Gostynia), Marzena Wąsiewicz (nauczycielka z Kajetan) oraz Szymon Kaźmierowski (nauczyciel z Elbląga)
- 22 - Janusz Wieczorek (emerytowany nauczyciel z Sandomierza)
Za zadanie 4 po 10 pkt. otrzymali: Elżbieta Grzechnik, Iwona Gruszecka, Zygmunt Krawczyk (emerytowany nauczyciel ze Szprotawy), Mikołaj Popek, Tadeusz Porzucek, Marzena Wąsiewicz, Szymon Kaźmierowski, Janusz Wieczorek oraz Szymon Meyer (analityk danych z Dziewkowic).
Gratulujemy!
Zad. 1. Zauważmy, że PABG = 1/2 PAEFG, a stąd 12x/2 = 50 i x = 25/3.
Zad. 2. Ze znanego związku przekątnych i boków równoległoboku mamy |AD|2+|BC|2 =
2|AC|2+2|BD|2. Stąd otrzymujemy równanie (2√7)2+(2a)2 = 40, czyli a=√3. Łatwo zauważyć, że trójkąt AMC jest prostokątny (dlaczego?), a tym samym prostokątny jest trójkąt ABC. Z długości boków wynika, że jest to trójkąt ekierkowy i szukany kąt x ma miarę 30°.
Zad. 3. Poprowadźmy średnicę AC oraz odcinki CM i CB. Przedłużmy odcinek PK do przecięcia z odcinkiem CB w punkcie H. Zauważmy, że odcinek KH jest linią średnią trójkąta MCB, a środek H boku CB jest szukanym w zadaniu punktem.
Zad. 4 Czcionka bold oznacza zapis wektorowy, a "•" - iloczyn skalarny wektorów. CA = CM+MA, skąd |CA|2 = |CM|2+|MA|2+2·CM•MA. Analogicznie CB = CM–BM, skąd |CB|2 = |CM|2+|BM|2–2·CM•BM. Punkt M jest środkiem boku AB, więc BM=MA. Dodając stronami ostatnie równości, otrzymujemy (1) |CA|2+|CB|2 = 2(|CM|2+|MA|2). Mamy też (2) CM•CD = CM•(CM+MD) = |CM|2+CM•MD = |CM|2+|AM|2 (2). Ostatnia równość wynika z twierdzenia o przecinających się cięciwach okręgu. Podstawiając (2) do (1), otrzymujemy tezę.
To zabawny samouczek, który zaczynając się niewinnie intrygującą historyjką, krok po kroku, poczynając od najłatwiejszych łamigłówek, prowadzi nas w szpony, nie bójmy się użyć tego słowa, uzależnienia.
