Koła w narożach

Koła w narożach

Data ostatniej modyfikacji:
2018-09-11

Autor:

Krzysztof Omiljanowski

pracownik IM UWr

Poziom edukacyjny:

gimnazjum

szkoła średnia z maturą

szkoła profilowana zawodowa

szkoła wyższa

Dział matematyki:

geometria syntetyczna

W trójkąt można wpisać koło (tu oznaczone literą w; jego promień oznaczamy r). W powstałe naroża dalej można wpisywać kolejne koła, jak na poniższych rysunkach. Kół jest w każdym narożu nieskończenie wiele, czego już na rysunkach nie widać.

Na powyższym rysunku wszystkie trójkąty mają równe pola. Na oko widać, że koła wpisane w te trójkąty w nie mają jednakowych pól. Powstaje pytanie, czy suma pól wszystkich kół (wpisanego w i wpisanych w kolejne naroża) jest w tych trójkątach taka sama.
Innymi słowy, czy stosunek

jest stały?

Najpierw obliczymy, jaki jest stosunek

w trójkącie równobocznym ABC.

Dalej wystarczy sprawdzić, czy w innych trójkątach ten stosunek jest taki sam.

Zamiast rachować, po prostu zobaczmy.

Można się zastanawiać, dlaczego przedstawiam tu tak zawiłe rozumowanie.
Odpowiedź jest prosta: nie znam prostszego.
Poniżej przedstawiam inne rozwiązanie, w którym konieczna jest znajomość wzoru na sumę postępu geometrycznego.

nr	Nazwa	Polecenie
1	Punkt A
2	Punkt B
3	Punkt C
4	Odcinek a	Odcinek[A, B]
5	Odcinek b	Odcinek[B, C]
6	Odcinek c	Odcinek[C, A]
7	Okrąg w	OkrągWpisany[A, B, C]
8	Punkt O	Środek[w]
9	Liczba r	Promień[w]
10	Lista kola_A	Ciąg[Jednokładność[w, ((Odległość[A,O]-r)/(Odległość[A,O]+r))^k, A], k,1,8]
11	Lista kola_B	Ciąg[Jednokładność[w, ((Odległość[B,O]-r)/(Odległość[B,O]+r))^k, B], k,1,8]
12	Lista kola_C	Ciąg[Jednokładność[w, ((Odległość[C,O]-r)/(Odległość[C,O]+r))^k, C], k,1,8]

Jak to zrobić w Geogebrze?

Dodaj komentarz

Impreza miesiąca

Dowcip miesiąca

Problem miesiąca

Trudne słowo

Pytanie miesiąca

Lektura miesiąca