f-światowidy

Do rysunków 3D w niebieskich ramkach użyto apletu www.javaview.de/ Można w nich manipulować myszą.

 

W tekstach Światowidy dyskretne oraz Światowidy wielościenne pokazaliśmy najprostsze bryły, które oglądane z profilu i en face wyglądają jednakowo. Przeczytaj koniecznie te artykuły. Teraz pokażemy światowidy, których projekty zadane są przez wykresy funkcji.

Dokładniej: dla funkcji f, określonej na przedziale [0,1], o wartościach nieujemnych, niech P oznacza obszar pomiędzy wykresem f a przedziałem [0,1] osi OX. Bryłę nazwiemy f-światowidem, gdy P jest jej rzutem na płaszczyznę OXZ oraz na płaszczyznę OYZ i gdy jest to największa bryła o tej własności.

 

 

Precyzyjne określenie f-światowida nie jest zbyt pasjonujące:

dla funkcji f, określonej na przedziale [0,1], o wartościach nieujemnych,
f-światowidem nazywamy zbiór   { (x,y,z): 0 z min(f(x), f(y)) } .

Ciekawsze jest wyznaczanie objętości f-światowidów.
Podamy tu kilka przykładów (bez ogólnego wzoru), w których wygodnie jest zastosować poniższe ogólne twierdzenie:

 

(*) Reguła Cavalieriego.  Niech dane będą dwie bryły B₁ i B₂ i ustalona płaszczyzna K.
Jeśli dla każdej płaszczyzny L równoległej do K, przekroje: L B₁ i L B₂ mają jednakowe pola, to objętości brył B₁, B₂ są jednakowe.

 

---

 

Zobaczmy jak można obliczyć objętość f-światowida dla to znaczy, gdy wykres funkcji f jest półokręgiem (i obszar P pod wykresem f jest półkolem).

 

 

Zauważmy, że przekroje tego f-światowida płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny OXY są kwadratami. Dla takiej płaszczyzny L, przechodzącej przez punkt (0,0, z), gdzie 0<z<1/2, bok kwadratu przekroju ma długość (wyznacz z równania wielkość |x-0,5| ).
Zatem przekrój ma pole 4(0,25-z^2) = 1 - (2z)^2. Takie same pole ma przekrój płaszczyzną L bryły B, która jest różnicą prostopadłościanu o wierzchołkach:

(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1/2), (1,0,1/2), (1,1,1/2), (0,1,1/2), i ostrosłupa o wierzchołkach: (0,0,0), (0,0,1/2), (1,0,1/2), (1,1,1/2), (0,1,1/2). Zatem, na podstawie (*), objętość tego f-światowida jest równa objętości bryły B, czyli jest równa 1 ^. 1 ^. 1/2 - 1/3 ^. 1 ^. 1 ^. 1/2 = 1/3.

Uwaga. O tej bryle pisaliśmy już w artykule Baryłka Archimedesa.

 

---

 

Zobaczmy jak można obliczyć objętość f-światowida dla f(x) = 4x(1-x).

 

 

W tym przykładzie również przekroje f-światowida płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny OXY są kwadratami. Dla takiej płaszczyzny L, przechodzącej przez punkt (0,0, z), gdzie 0<z<1, bok kwadratu przekroju ma długość (dlaczego?). Zatem przekrój ma pole 1-z.
Takie same pole ma przekrój płaszczyzną L graniastosłupa B o wierzchołkach:

(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (połówka sześcianu).
Zatem, na podstawie (*), objętość tego f-światowida jest równa objętości bryły B, czyli 1/2.

 

---

 

Zobaczmy jak można obliczyć objętość f-światowida dla .

 

 

W tym przykładzie również przekroje f-światowida płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny OXY są kwadratami. Dla takiej płaszczyzny L, przechodzącej przez punkt (0,0, z), gdzie 0<z<1, bok kwadratu przekroju ma długość 1-z (dlaczego?). Zatem przekrój ma pole (1-z)².
Takie same pole ma przekrój płaszczyzną L ostrosłupa B o wierzchołkach:

(0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,0,1), (0,0,1), Zatem, na podstawie (*), objętość tego f-światowida jest równa objętości bryły B, czyli 1/3.

 

---

---

 

Dla f-światowida, gdzie , objętość jest równa obliczyć , co można uzasadnić metodami wyższej matematyki.

 

 

Tą samą objętość mają f-światowidy dla

,
,
. Wynika to nietrudno z reguły (*). Zobaczmy:
Zauważmy, że wykres funkcji , powstaje z wykresu , ten ostatni trzeba trzykrotnie 'ścisnąć wzdłuż osi OX'. Okresowość powoduje, że na przedziale [0,1] obie te funkcje mają jednakowe długości przekrojów wzdłuż prostych równoległych do osi OX. W konsekwencji przekroje odpowiadających im f-światowidów płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny OXY mają jednakowe pola. Zatem, na podstawie (*), objętości tych f-światowidów są równe.

 

---

---