listopad 2007

Zad. 1. Jak znaleźć iloczyn liczb 987654321 i 1234, mając do dyspozycji kalkulator z 8-cyfrowym wyświetlaczem i wykonując jak najmniej rachunków?

Zad. 2. Jakie są cztery ostatnie cyfry liczby 2007¹⁰⁰⁰?

Zad. 3. Ile jest rozwiązań równania A·B = C·D+k, gdzie k jest liczbą jednocyfrową, a liczby oznaczone dużymi literami są czterema kolejnymi liczbami spośród 97, 98, 99, 100, 101 (niekoniecznie w kolejności A, B, C, D)?

Wyniki:
Poprawne rozwiązania 3 zadań nadesłali: Łukasz Kajdan z SP 82 w Poznaniu i Damian Olczyk z I LO w Oleśnie. Gratulujemy!

Po dwóch miesiącach trwania ligi z 6 punktami (na 6 możliwych) prowadzi Damian Olczyk z I LO w Oleśnie, a II miejsce z 4 punktami zajmuje Łukasz Kajdan z SP 82 w Poznaniu.

Odpowiedzi:

Zad. 1. Korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania: 987654321·1234 = 987600000·1234 + 54321·1234. Na kalkulatorze (nawet 8-cyfrowym) znajdujemy wyniki 9876·1234 = 12186984 i 54321·1234 = 67032114, zatem szukanym iloczynem jest 1218698400000+67032114, do obliczenia czego wystarczy wyobrażenie sobie działania pisemnego, i faktycznie trzeba coś dodać tylko na 3 miejscach dziesiętnych, otrzymując wynik 1218765432114.

Zad. 2. O 4 ostatnich cyfrach wyniku decydują 4 ostatnie cyfry podstawy (wynika to np. z techniki mnożenia pisemnego). 2007² = 4028049, więc 2007⁴ = (2007²)² ma takie same 4 końcowe cyfry jak 8049² = 64786401, a 2007⁸ = (2007⁴)² jak 6401² = 40972801. Zadanie sprowadziliśmy więc do znalezienia 4-cyfrowej końcówki liczby 2801¹²⁵, którą możemy znaleźć, postępując analogicznie - mamy kolejno końcówki: 2801² = ...5601, 2801⁴ = ...1201, więc 2801¹²⁵ = 2801·(2801⁴)³¹ ma końcówkę taką jak 2801·1201³¹, a 1201² = ...2401, czyli 1201³¹ = 1201·(1201²)¹⁵ ma końcówkę taką jak 1201·2401¹⁵, 2401² = ...4801, 2401⁴ = ...9601, 2401⁸ = ...9201, więc 2401¹⁵ = 2401·2401²·2401⁴·2401⁸ = ...6001 i ostatecznie 2007¹⁰⁰⁰ ma końcówkę 4-cyfrową taką jak 2801·1201·6001, czyli 0001.

Zadanie to można rozwiązac trochę krócej: 2007¹⁰⁰⁰ = (2000+7)(2000+7)...(2000+7), gdzie nawiasów jest 1000. Iloczyn taki to suma iloczynów 1000 czynników, z których każdy jest wybraną z kolejnych nawiasów liczbą 2000 albo 7. Składniki, gdzie mnożone sa co najmniej dwa czynniki 2000, mają jako 4 ostatnie cyfry zera, więc można je pominąć. Wystarczy rozpatrzyć te składniki, gdzie mnożymy same siódemki (jest tylko jeden taki), oraz te, gdzie z jednego nawiasu wybieramy do mnożenia 2000, a ze wszystkich pozostałych siódemki (takich składników jest tyle, na ile sposobów można wybrać jeden spośród 1000 nawiasów do "wyciągnięcia" jako czynnika liczby 2000, czyli tysiąc). Szukane 4 cyfry to zatem 4-cyfrowa końcówka liczby 7¹⁰⁰⁰+1000·2000·7⁹⁹⁹. Drugi składnik da 4 zera, więc popatrzmy na 7¹⁰⁰⁰: kolejne potęgi siódemki (co łatwo otrzymać na kalkulatorze) to: 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801, 40353607 (7⁹) i wystarczy teraz znaleźć 4 ostatnie cyfry iloczynu siódemki i liczby 3607¹¹¹ (np. jak poprzednio). Można jeszcze nieco skrócić obliczenia, jeśli doliczy się do jakiejś większej potęgi siódemki (ściślej: jej 4-cyfrowej końcówki), np. 7¹⁰ czy 7²⁵.

Zad. 3. Aby nie sprawdzać wszystkich 48 możliwych układów A, B, C, D, warto zauważyć przede wszystkim, że A można zawsze zamienić z B, a C z D. Ponadto jeśli A lub B jest najmniejsze spośród A, B, C, D, to drugie z nich musi być największe. Jeśli ani A, ani B nie jest najmniejszą spośród tych 4 liczb, to muszą to być liczby druga i trzecia co do wielkości. Wystarczy zatem sprawdzić kalkulatorem różnice 97·100-98·99 = -2 oraz 98·101-99·100 = -2 (obie można właściwie obliczyć w pamięci, najlepiej, korzystając z zależności między występującymi w działaniach liczbami), a ich wyniki dają wszystkie rozwiązania: A=98, B=99 (lub odwrotnie), C=97, D=100 (lub odwrotnie) i k=2 oraz A=99, B=100 (lub odwrotnie), C=98, D=101 (lub odwrotnie) i k=2. Możliwych rozwiązań jest więc 8.